Question

已知直線（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所經(jīng)過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（7分）
（Ⅱ）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1．試證明當(dāng)點P（m，n）在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍．（8分）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直線（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）過定點，可得x-y-3+k（x-3）=0，即

x-y-3=0 x-3=0

，解得定點F；設(shè)橢圓C的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

，解得a、b，即得橢圓C的方程．
（Ⅱ）點P（m，n）在橢圓C上，則1=

m2

25

+

n2

16

＜m2+n2，從而得圓心O到直線l的距離d=

1

m2+n2

＜1=r，即直線l與圓O相交；直線l被圓O截得的弦長為L=2

r2-d2

=2

1- 1 m2+n2

，
可得L的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R），得x-y-3+k（x-3）=0，
則由

x-y-3=0 x-3=0

，解得定點F（3，0）；
設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

，解得

a=5 b=4 c=3

；
所以橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．
（Ⅱ）因為點P（m，n）在橢圓C上運動，所以1=

m2

25

+

n2

16

＜m2+n2，從而圓心O到直線l：mx+ny=1的距離d=

1

m2+n2

＜1=r，所以直線l與圓O恒相交；
又直線l被圓O截得的弦長為L=2

r2-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 1 9 25 m2+16

，
由于0≤m²≤25，所以16≤

9

25

m2+16≤25，則L∈[

15

2

，

4 6

5

]，
即直線l被圓O截得的弦長的取值范圍是L∈[

15

2

，

4 6

5

]．

點評：本題考查了直線與橢圓，直線與圓的綜合應(yīng)用問題，也考查了直線過定點的問題；解題時要認(rèn)真分析，靈活運用所學(xué)的知識，細(xì)心解答．