Question

16．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足$xf'（x）+f（x）=\frac{lnx}{x}$，且$f（e）=\frac{1}{e}$，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則不等式$f（x）+e＞x+\frac{1}{e}$的解集是（　�。�

• A． $（0，\frac{1}{e}）$
• B． （0，e）
• C． $（\frac{1}{e}，e）$
• D． $（\frac{1}{e}，+∞）$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令g（x）=xf（x），分析可得g′（x）=[xf（x）]′=$xf'（x）+f（x）=\frac{lnx}{x}$，對g（x）求積分可得g（x）的解析式，進而可得f（x）的解析式，再令h（x）=f（x）-x，對其求導(dǎo)可得h′（x）=f′（x）-1＜0，分析可得函數(shù)h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上遞減，將不等式$f（x）+e＞x+\frac{1}{e}$變形可得f（x）-x＞$\frac{1}{e}$-e=f（e）-e，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，令g（x）=xf（x），
則有g(shù)′（x）=[xf（x）]′=$xf'（x）+f（x）=\frac{lnx}{x}$，
則g（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+C，即xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+C，
則有f（x）=$\frac{1}{2x}$（lnx）²+$\frac{C}{x}$，
又由$f（e）=\frac{1}{e}$，即f（e）=$\frac{1}{2e}$+$\frac{C}{e}$=$\frac{1}{e}$，解可得C=$\frac{1}{2}$，
故f（x）=$\frac{1}{2x}$（lnx）²+$\frac{1}{2x}$，
令h（x）=f（x）-x，
則h′（x）=f′（x）-1=$\frac{-（lnx+1）^{2}}{2{x}^{2}}-1$＜0，
故函數(shù)h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上遞減，
不等式$f（x）+e＞x+\frac{1}{e}$，即f（x）-x＞$\frac{1}{e}$-e=f（e）-e，
則有0＜x＜e，
即不等式$f（x）+e＞x+\frac{1}{e}$的解集為（0，e）；
故選：B．

點評 本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性，涉及導(dǎo)數(shù)的計算以及函數(shù)的積分計算，關(guān)鍵是求出函數(shù)f（x）的解析式．