Question

11．如圖，過點P作圓O的割線PBA與切線PE，E為切點，連接AE、BE，∠APE的平分線與AE、BE分別交于點C、D，其中∠AEB=30°．
（1）求證：$\frac{ED}{BD}.\frac{PB}{PA}=\frac{PD}{PC}$
（2）求∠PCE的大小．

Answer 1

分析 （1）證明△PED∽△PAC，結合角平分線的性質(zhì)，即可證明結論；
（2）利用PE是圓的切線，可得∠PEB=∠PAC，利用AE是∠APE的平分線，可得∠EPC=∠APC，根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角關系，可得∠EDC=∠ECD，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵PE是圓的切線，∴∠PEB=∠PAC，
∵AE是∠APE的平分線，∴∠EPC=∠APC，
∴△PED∽△PAC，
∴$\frac{PE}{PA}$=$\frac{PD}{PC}$，
∵$\frac{PE}{PB}$=$\frac{ED}{BD}$，
∴$\frac{ED}{BD}.\frac{PB}{PA}=\frac{PD}{PC}$；
（2）解：∵PE是圓的切線，∴∠PEB=∠PAC，
∵AE是∠APE的平分線，∴∠EPC=∠APC，
根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角關系有：∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC，
∴∠EDC=∠ECD，∴△EDC為等腰三角形，
又∠AEB=30°，
∴∠EDC=∠ECD=75°，即∠PCE=75°，

點評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查角平分線性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，考查等腰三角形的性質(zhì)，屬于中檔題．