Question

設函數(shù)f（x）=lnx-x²+ax（a∈R）．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 設g（x）=

x

ex

，若對于任意給定的x₀∈（0，e]，方程f（x）+

1

e

=g(x0)在（0，e]內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根，求a的取值范圍．（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ） f′(x)=

1

x

-2x+a=

-2x2+ax+1

x

，由f'（x）=0，得-2x²+ax+1=0，該方程的判別式△=a²+8＞0，可知方程-2x²+ax+1=0有兩個實數(shù)根

a± a2+8

4

，又x＞0，故取x=

a+ a2+8

4

；當x∈(0，

a+ a2+8

4

)時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當x∈(

a+ a2+8

4

，+∞)時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
（Ⅱ）g′(x)=

1-x

ex

，當x∈（0，1）時，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當x∈（1，e）時，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，知函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e）上的極大值為g(1)=

1

e

，也為該區(qū)間上的最大值，于是函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]的值域為(0，

1

e

]．令F(x)=f(x)+

1

e

，則F′(x)=f′(x)=

-2x2+ax+1

x

，探討函數(shù)F（x）的單調(diào)性，約束a的范圍．

解答： （Ⅰ） f′(x)=

1

x

-2x+a=

-2x2+ax+1

x

，
由f'（x）=0，得-2x²+ax+1=0，該方程的判別式△=a²+8＞0，
可知方程-2x²+ax+1=0有兩個實數(shù)根

a± a2+8

4

，又x＞0，故取x=

a+ a2+8

4

，
當x∈(0，

a+ a2+8

4

)時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當x∈(

a+ a2+8

4

，+∞)時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

a+ a2+8

4

)；遞減區(qū)間是(

a+ a2+8

4

，+∞)．
（Ⅱ）g′(x)=

1-x

ex

，當x∈（0，1）時，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當x∈（1，e）時，
g'（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，知函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e）上的極大值為g(1)=

1

e

，
也為該區(qū)間上的最大值，于是函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]的值域為(0，

1

e

]．
令F(x)=f(x)+

1

e

，則F′(x)=f′(x)=

-2x2+ax+1

x

，
由F'（x）=0，結(jié)合（Ⅰ）可知，方程F'（x）=0在（0，∞）上有一個實數(shù)根x₃，
若x₃≥e，則F（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，與在（0，e]內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根相矛盾，不合題意，可知F'（x）=0在（0，e]有唯一的解x3=

a+ a2+8

4

，
且F（x）在(0，

a+ a2+8

4

)上單調(diào)遞增；在(

a+ a2+8

4

，+∞)上單調(diào)遞減．
因為?x₀∈（0，e]，方程f(x)+

1

e

=g(x0)在（0，e]內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根，所以F（e）≤0，且F(x)max＞

1

e

．
由F（e）≤0，即lne-e2+ae+

1

e

≤0，解得a≤

e3-e-1

e2

．
由F(x)max=f(x3)+

1

e

＞

1

e

，即f（x₃）＞0，lnx3-

x

2 3

+ax3＞0，
因為-2

x

2 3

+ax3+1=0，所以a=2x3-

1

x3

，代入lnx3-

x

2 3

+ax3＞0，得lnx3+

x

2 3

-1＞0，
令h（x）=lnx+x²-1，∴h′（x）=

1

x

+2x在（0，e]上恒正，∴h（x）=lnx+x²-1在（0，e]上遞增，
∵h（1）=0，∴h（x₃）＞h（1）=0，∴1＜x₃＜e，∵a=2x3-

1

x3

單調(diào)遞增，∴1＜a＜2e-

1

e

，
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（1，

e3-e-1

e2

]

點評：本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，要善于構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化問題解題，本題屬于高檔題．