Question

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明；

（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（3）設(shè)且時(shí)，的定義域和值域都是，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析（2）且；（3）最大值為

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在，上的單調(diào)性；（2），則不等式對(duì)恒成立，令，易證在，遞增，同理，遞減，求出函數(shù)，與函數(shù)，建立不等關(guān)系，解之即可求出的范圍；（3）由（1）及的定義域和值域都是，，則，是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根，等價(jià)于方程有兩個(gè)不等的正數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出的最大值.

（1）設(shè)，則，

，，，，，

即，因此函數(shù)在，上的單調(diào)遞增．

（2），則不等式對(duì)恒成立，

即即不等式對(duì)恒成立，

令，易證在，遞增，同理在，遞減．

（1），（1），

且

（3）由（1）及的定義域和值域都是，得，，

因此，是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根，

等價(jià)于方程有兩個(gè)不等的正數(shù)根，

即△且，

解得，

，

，

時(shí)，最大值為．