Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1與雙曲線

x2

2

-y²=1有公共焦點(diǎn)，且離心率為

3

2

．A，B分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)．點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)．直線AS，BS分別與直線l：x=

10

3

分別交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）延長(zhǎng)MB交橢圓C于點(diǎn)P，若PS⊥AM，試證明MS²=MB•MP．
（3）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在點(diǎn)T，使得△TSB的面積為

1

5

？若存在確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，可確定橢圓的焦點(diǎn)，利用橢圓的離心率，即可求出橢圓的方程；
（2）引入直線AS的斜率k，用點(diǎn)斜式寫出直線AS的方程，與l的方程聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)S的坐標(biāo)，又點(diǎn)B的坐標(biāo)已知，從而可得

BS

⊥

BM

，利用PS⊥AM，由射影定理可得MS²=MB•MP．
（3）線段MN的長(zhǎng)度可以表示成直線AS的斜率k的函數(shù)，根據(jù)其形式利用基本不等式法求最值，從而求出直線SB的方程要使橢圓C上存在點(diǎn)T，使得△TSB的面積等于

1

5

，只須T到直線BS的距離等于

2

4

，由此問題轉(zhuǎn)化為研究與直線SB平行且距離為

2

4

的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．

解答：（1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1與雙曲線

x2

2

-y²=1有公共焦點(diǎn)
∴橢圓C的焦點(diǎn)為(-

3

，0)，(

3

，0)，
∴c=

3

，
又∵e=

c

a

=

3

2

，
∴a=2，b=1，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．…（3分）
（2）證明：直線AS的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2），從而M(

10

3

，

16k

3

 )
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
設(shè)S（x₁，y₁），則(-2)×x1=

16k2-4

1+4k2

得x1=

2-8k2

1+4k2

，從而y1=

4k

1+4k2

         …（5分）
即S(

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)
又B（2，0），從而

BS

=( 

-16k2

1+4k2

， 

4k

1+4k2

)，

BM

=(

4

3

，

16k

3

)
∴

BS

•

BM

= (

-16k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)• (

4

3

，

16k

3

)=0，
∴

BS

⊥

BM

，
又因?yàn)镻S⊥AM，由射影定理可得MS²=MB•MP．…（7分）
（3）解：由

y=- 1 4k (x-2) x= 10 3

得

x= 10 3 y=- 1 3k

∴N(

10

3

，-

1

3k

)
又k＞0，∴|MN|=

16k

3

+

1

3k

≥2

16k 3 • 1 3k

=

8

3

當(dāng)且僅當(dāng)

16k

3

=

1

3k

，即k=

1

4

時(shí)等號(hào)成立
∴k=

1

4

時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度取最小值

8

3

此時(shí)BS的方程為x+y-2=0，S(

6

5

，

4

5

)，∴|BS|=

4 2

5

       …（9分）
要使橢圓C上存在點(diǎn)T，使得△TSB的面積等于

1

5

，只須T到直線BS的距離等于

2

4

，
所以T在平行于BS且與BS距離等于

2

4

的直線l'上．
設(shè)直線l'：x+y+t=0，則由

|t+2|

2

=

2

4

，解得t=-

3

2

或t=-

5

2

．
當(dāng)t=-

3

2

時(shí)，由

x+y- 3 2 =0 x2 4 +y2=1

，得5x²-12x+5=0
由于△=44＞0，故直線l'與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
當(dāng)t=-

5

2

時(shí)，由

x+y- 5 2 =0 x2 4 +y2=1

得5x²-20x+21=0，
由于△=-20＜0，故直線l'與橢圓沒有交點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上僅存在兩個(gè)不同的點(diǎn)T，使得△TSB的面積為

1

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題，要求答題者擁有較高的探究轉(zhuǎn)化能力以及對(duì)直線與圓錐曲線位置關(guān)系中特征有較好的理解，正確理解題意，合理轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．