已知函數(shù)f(x)=和g(x)=x-1-ln(x+1)
(Ⅰ)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?說(shuō)明理由;
(Ⅱ)求證:函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(2,3)上有唯一零點(diǎn);
(Ⅲ)當(dāng)x>0時(shí),不等式xf(x)>k(x)恒成立,其中(x)是g(x)導(dǎo)函數(shù),求正整數(shù)k的最大值.
解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù). 由于 2分
所以故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù) 4分 (Ⅱ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2086/0021/9ab7c5307d3f73bd4748988d27c007e9/C/Image123.gif" width=180 height=41> 所以g(x)在(2,3)上是增函數(shù) 6分 又g(2)=1-ln3<0,g(3)=2-ln4=2(1-ln2)>0 所以,函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(2,3)上有唯一零點(diǎn) 8分 (Ⅲ)當(dāng)x>0時(shí),不等式xf(x)>k(x)恒成立 即對(duì)于x>0恒成立 設(shè),則 9分 由(Ⅱ)知g(x)=x-1-ln(x+1)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù), 且g(x)=0存在唯一實(shí)數(shù)根a,滿足a∈(2,3),即a=1+ln(a+1) 10分 由x>a時(shí),;0<x<a時(shí), 知h(x)(x>0)的最小值為 故正整數(shù)k的最大值為3 12分 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆四川省高一下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=sin xcos x-cos2x-,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期;
(2)已知△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且c=3,f(C)=0,若向量m=(1,sin A)與n=(2,sin B)共線,求a,b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年陜西省高二下期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x3-3x及y=f(x)上一點(diǎn)P(1,-2),過(guò)點(diǎn)P作直線l.
(1)求使直線l和y=f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程;
(2)求使直線l和y=f(x)相切且切點(diǎn)異于P的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年貴州省六盤(pán)水市高三10月月考文科數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3+x2-2.
(1)設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,其中a1=3.若點(diǎn)(an,an+12-2an+1)(n∈N*)在函數(shù)y=f′(x)的圖象上,求證:點(diǎn)(n,Sn)也在y=f′(x)的圖象上;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a-1,a)內(nèi)的極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年四川省內(nèi)江市、廣安市高三第二次模擬聯(lián)考試題理科數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=和圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線的斜率是-5。
(1)求實(shí)數(shù)b,c的值;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值;
(3)若函數(shù)y=f(x)圖象上存在兩點(diǎn)P,Q,使得對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a都滿足△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍。
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