Question

已知雙曲線E：

x2

m

-

y2

5

=1．
（1）若m=4，求雙曲線E的焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程；
（2）若雙曲線E的離心率e∈(

6

2

，

2

)，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）m=4時，雙曲線方程轉化為：

x2

4

-

y2

5

=1，先求出a，b，c，由此能求出雙曲線的焦點坐標、頂點坐標和漸近線方程．
（2）由雙曲線E：

x2

m

-

y2

5

=1，推導出e²=1+

5

m

，再由e∈(

6

2

，

2

)，能求出實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵雙曲線E：

x2

m

-

y2

5

=1．
∴m=4時，雙曲線方程轉化為：

x2

4

-

y2

5

=1，
∴a=2，b=

5

，c=

4+5

=3，
∴雙曲線的焦點坐標為F₁（-3，0），F₂（3，0），
雙曲線的頂點坐標A₁（-2，0），A₂（2，0），
雙曲線的漸近線方程為：y=±

5

2

x．
（2）∵雙曲線E：

x2

m

-

y2

5

=1，
∴e2=

c2

a2

=

m+5

m

=1+

5

m

，
∵e∈(

6

2

，

2

)，
∴

3

2

＜1+

5

m

＜2，
解得5＜m＜10，
∴實數m的取值范圍是（5，10）．

點評：本題考查雙曲線的焦點坐標、頂點坐標、漸近線方程的求法，考查參數的取值范圍的求法，解題時要熟練掌握雙曲線的簡單性質，是中檔題．