Question

設(shè)橢圓Γ₁的中心和拋物線Γ₂的頂點均為原點O，Γ₁、Γ₂的焦點均在x軸上，過Γ₂的焦點F作直線l，與Γ₂交于A、B兩點，在Γ₁、Γ₂上各取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

x	3	-2	4	3
y	-2 3	0	-4	- 3 2

（1）求Γ₁，Γ₂的標準方程；
（2）若l與Γ₁交于C、D兩點，F(xiàn)₀為Γ₁的左焦點，求

S△F0AB

S△F0CD

的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知（-2，0），（

3

，-

3

2

）在橢圓上，（3，-2

3

），（4，-4）在拋物線上，由此能求出橢圓Γ₁方程和拋物線Γ₂方程．
（2）設(shè)F₀到直線l的距離為d，

S△F0AB

S△F0CD

=

1 2 d•|AB|

1 2 d•|CD|

=

|AB|

|CD|

，當直線l的斜率存在時，

S△F0AB

S△F0CD

＞

4

3

；當直線l的斜率不存在時，

S△F1AB

S△F1CD

=

4

3

，由此能求出

S△F0AB

S△F0CD

的最小值．

解答： 解：（1）由題意知（-2，0），（

3

，-

3

2

）在橢圓上，
（3，-2

3

），（4，-4）在拋物線上，…（2分）
設(shè)橢圓Γ₁方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則

a=2 3 4 + 3 4b2 =1

，解得a=2，b=

3

，
∴橢圓Γ₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
設(shè)拋物線Γ₂方程為y²=2py（p＞0），
則（-4）²=2P×4，解得p=2，
∴拋物線Γ₂方程為y²=4x．…（6分）
（2）設(shè)F₀到直線l的距離為d，
 

S△F0AB

S△F0CD

=

1 2 d•|AB|

1 2 d•|CD|

=

|AB|

|CD|

．…（7分）
F（1，0）是拋物線的焦點，也是橢圓的右焦點，
①當直線l的斜率存在時，
設(shè)l：y=k（x-1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x3 ，y3），D（x₄，y₄），
聯(lián)立方程

y2=4x y=k(x-x)

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
k≠0時，△＞0恒成立．
|AB|=

(1+k2)(x2-x1)2

=

(1+k2)• 16+16k2 k4

=

4(1+k2)

k2

，…（9分）
聯(lián)立方程

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，△＞0恒成立．
|CD|=

(1+k2)(x3-x4)2

=

(1+k2)• 144+144k2 (3+4k2)2

=

12(1+k2)

3+4k2

，
∴

S△F0AB

S△F0CD

=

4(1+k2) k2

12(1+k2) 3+4k2

=

3+4k2

3k2

=

1

k2

+

4

3

＞

4

3

．…（11分）
②當直線l的斜率不存在時，l：x=1，
此時，|AB|=4，|CD|=3，

S△F1AB

S△F1CD

=

4

3

．…（12分）
∴

S△F0AB

S△F0CD

的最小值為

4

3

．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程和拋物線方程的求法，考查兩個三角形面積比值的最小值的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．