Question

設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)函數(shù)，若對(duì)于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：確定函數(shù)f（x）的定義域，并求導(dǎo)函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x-1，求出f（1）=-2，f'（1）=0，即可得到f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，令f'（x）＜0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；令f'（x）＞0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=；對(duì)于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價(jià)于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，求出，x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范圍．
解答：解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），（2分）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x-1，∴f（1）=-2，，
∴f'（1）=0，∴f（x）在x=1處的切線方程為y=-2（5分）
（Ⅱ）=（6分）
令f'（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（2，+∞）．（8分）
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知函數(shù)f（x）在（1，2）上為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=（9分）
若對(duì)于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價(jià)于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*）         （10分）
又，x∈[0，1]
①當(dāng)b＜0時(shí)，g（x）在[0，1]上為增函數(shù)，與（*）矛盾
②當(dāng)0≤b≤1時(shí)，，由及0≤b≤1得，
③當(dāng)b＞1時(shí)，g（x）在[0，1]上為減函數(shù)，，
此時(shí)b＞1（11分）
綜上，b的取值范圍是（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將對(duì)于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，轉(zhuǎn)化為g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．