Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，面A₁B₁C₁D₁中心為O₁．
（1）求證：DO₁∥面AB₁C；
（2）求異面直線DO₁與B₁C所成角．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：平面向量及應用,空間位置關系與距離

分析：（1）建立如圖所示的直角坐標系．利用向量垂直與數量積的關系求出平面AB₁C的法向量

n

，只要證明

DO1

•

n

=0即可；
（2）利用向量的夾角公式即可得出．

解答： 解：（1）證明：建立如圖所示的直角坐標系．
設AB=2，O₁（1，1，2），A（2，0，0），B₁（2，2，2），
C（0，2，0）．

DO1

=（1，1，2），

AC

=（-2，2，0），

AB1

=（0，2，2）．
設平面AB₁C的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • AC =0 n • AB1 =0

，化為

-2x+2y=0 2y+2z=0

，令y=1，解得x=1，z=-1．
∴

n

=（1，1，-1），
∵

DO1

•

n

=1+1-2=0，∴

n

⊥

DO1

，
∵點D∉平面AB₁C，∴DO₁∥面AB₁C；
（2）

B1C

=（-2，0，-2），
cos＜

DO1

，

B1C

＞=

B1C • DO1

| B1C || DO1 |

=

-6

8 • 6

=-

3

2

，
∴＜

DO1

，

B1C

＞=150°，
∴異面直線DO₁與B₁C所成角為30°．

點評：本題考查了向量垂直與數量積的關系、線面垂直與線面平行的判定定理、異面直線所成的角，考查了空間想象能力，屬于基礎題．