Question

（本題13分）在幾何體ABCDE中，∠BAC= ，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F(xiàn)是BC的中點，AB=AC=BE=2，CD=1． 

（1）求證：DC∥平面ABE；

（2）求證：AF⊥平面BCDE；

（3）求幾何體ABCDE的體積．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見解析；（2）證明：見解析；（3）2。

【解析】本題考查線面平行，考查線面垂直，考查幾何體的體積，解題的關鍵是正確線面平行、垂直的判定方法，正確運用體積公式．

（I）證明DC∥平面ABE，即證DC∥EB，利用DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC可證；

（II）證明AF⊥平面BCDE，利用線面垂直的判定，證明DC⊥AF，AF⊥BC即可；

（III）幾何體ABCDE的體積就是以平面BCDE為底面，AF為高的三棱錐的體積．

（1）證明：

∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∴DC∥EB，

又∵DC⊄平面ABE，EB⊂平面ABE，

∴DC∥平面ABE     

（2）證明：∵DC⊥平面ABC，AF⊂平面ABC

∴DC⊥AF，又∵AB=AC，F(xiàn)是BC的中點，∴AF⊥BC，

又∵DC∩BC=C，DC⊂平面BCDE，BC⊂平面BCDE，

∴AF⊥平面BCDE                                    

（3）解：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，

∴DC∥EB，且四邊形BCDE為直角梯形                   

∵在△ABC中，∠BAC=，AB=AC=2，F(xiàn)是BC的中點 

 ∴BC=，AF=

∵由（II）可知AF⊥平面BCDE

∴幾何體ABCDE的體積就是以平面BCDE為底面，AF為高的三棱錐的體積

∴VABCDE=VA-BCDE=SBCDE×AF=×(1+2)××=2