【題目】已知圓,動圓與圓外切,且與直線相切,該動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程
(2)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),拋物線在點(diǎn)A的切線與交于點(diǎn)N,求面積的最小值.
【答案】(1);(2)4.
【解析】
(1)先設(shè),動圓半徑為,根據(jù)題意,列出等量關(guān)系,化簡整理,即可得出曲線方程;
(2)設(shè),依題意可知,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立直線與拋物線方程,根據(jù)韋達(dá)定理,以及弦長公式,表示出,再表示出過點(diǎn)點(diǎn)的切線方程,求出點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式,以及三角形面積公式,得到,即可得出結(jié)果.
(1)設(shè),動圓半徑為,因?yàn)閯訄A與圓外切,
所以,
又動圓與直線相切,所以由題意可得:,
即,即,整理得:;
所以拋物線的方程為.
(2)設(shè),依題意可知,直線的斜率存在,
故設(shè)直線的方程為:,
聯(lián)立消去可得,.
則.
所以
.
由,得,
所以過點(diǎn)的切線方程為, 又,
所以切線方程可化為.令,可得,
所以點(diǎn),
所以點(diǎn)到直線的距離,
所以,當(dāng)時(shí),等號成立
所以面積的最小值為4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)討論單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為D,且以點(diǎn)D為圓心的圓與雙曲線C分別相交于點(diǎn)A、B,如圖所示.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)求的最小值,并求出此時(shí)圓D的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)P為雙曲線C上異于點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn),且直線PA、PB分別與x軸相交于點(diǎn)M、N,求證:為定值(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某高三年級男生中隨機(jī)抽取50名測量身高,測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生身高全部介于和之間,將測量結(jié)果按如下方式分成6組:第1組,第2組,…,第6組,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)由頻率分布直方圖估計(jì)該校高三年級男生身高的中位數(shù);
(2)在這50名男生身高不低于的人中任意抽取2人,則恰有一人身高在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇跡之一,其中較為著名的是胡夫金字塔.令人吃驚的并不僅僅是胡夫金字塔的雄壯身姿,還有發(fā)生在胡夫金字塔上的數(shù)字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周長如果除以其高度的兩倍,得到的商為3.14159,這就是圓周率較為精確的近似值.金字塔底部形為正方形,整個(gè)塔形為正四棱錐,經(jīng)古代能工巧匠建設(shè)完成后,底座邊長大約230米.因年久風(fēng)化,頂端剝落10米,則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為( )
A.128.5米B.132.5米C.136.5米D.110.5米
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線過點(diǎn),其參數(shù)方程為 (為參數(shù),),以為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)求已知曲線和曲線交于,兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點(diǎn),且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同.直線過點(diǎn),且與橢圓相交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線的一個(gè)方向向量為,求的面積(其中為坐標(biāo)原點(diǎn));
(3)試問:在軸上是否存在點(diǎn),使得為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在單位圓O:x2+y2=1上任取一點(diǎn)P(x,y),圓O與x軸正向的交點(diǎn)是A,設(shè)將OA繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OP所成的角為θ,記x,y關(guān)于θ的表達(dá)式分別為x=f(θ),y=g(θ),則下列說法正確的是( 。
A.x=f(θ)是偶函數(shù),y=g(θ)是奇函數(shù)
B.x=f(θ)在為增函數(shù),y=g(θ)在為減函數(shù)
C.f(θ)+g(θ)≥1對于恒成立
D.函數(shù)t=2f(θ)+g(2θ)的最大值為
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