Question

【題目】設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序數(shù)組，滿足下列條件：①，；②；③，

.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，寫出滿足題設(shè)條件的全部；

（Ⅱ）設(shè)，其中，求的取值集合；

（Ⅲ）給定正整數(shù)，求的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) 詳見解析;(2) ; (3)

【解析】試題分析：

(Ⅰ)利用題中所定義的 可得 共有5個(gè)可能的值；

(Ⅱ)利用題意逐一交換元素的位置，討論可得：的取值集合為．

(Ⅲ)利用(II)中的方法結(jié)合排列組合相關(guān)結(jié)論可得給定正整數(shù)，求的個(gè)數(shù)是

試題解析：

（Ⅰ）解：，，，

，，共個(gè)．

（Ⅱ）解：首先證明，且．

在③中，令，得．由①得．

由②得．

在③中，令，得，

從而．由①得．

考慮，即，，此時(shí)為最大值．

現(xiàn)交換與，使得，此時(shí)．

現(xiàn)將逐項(xiàng)前移，直至．在前移過程中，顯然不變，這一過程稱為1次移位．

繼續(xù)交換與，使得，此時(shí)．

現(xiàn)將逐項(xiàng)前移，直至．在前移過程中，顯然不變，執(zhí)行第2次移位．

依此類推，每次移位的值依次遞減．經(jīng)過有限次移位，一定可以調(diào)整為，交替出現(xiàn)．

注意到為奇數(shù)，所以為最小值．

所以，的取值集合為．

（Ⅲ）解：由①、②可知，有序數(shù)組中，有個(gè)，個(gè)．

顯然，從中選個(gè)，其余為的種數(shù)共有種．下面我們考慮這樣的數(shù)組中有多少個(gè)不滿足條件③，記該數(shù)為．

如果不滿足條件③，則一定存在最小的正整數(shù)，使得

（ⅰ）； （ⅱ）．

將統(tǒng)統(tǒng)改變符號(hào)，

這一對(duì)應(yīng)為：，

從而將變?yōu)?/span>個(gè)，個(gè)組成的有序數(shù)組．

反之，任何一個(gè)個(gè)，個(gè)組成的有序數(shù)組．由于多于的個(gè)數(shù)，所以一定存在最小的正整數(shù)，使得．

令對(duì)應(yīng)為：，

從而將變?yōu)?/span>個(gè)，個(gè)組成的有序數(shù)組．

因此，就是個(gè)，個(gè)組成的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)．

所以的個(gè)數(shù)是．