Question

3．拋物線y=2x²上兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱(chēng)，且x₁•x₂=-$\frac{3}{4}$，則實(shí)數(shù)m的值為2．

Answer 1

分析 先利用條件得出A、B兩點(diǎn)連線的斜率k，再利用A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線y=x+m求出關(guān)于m以及x₂，x₁的方程，再與已知條件聯(lián)立求出實(shí)數(shù)m的值．

解答 解：由題意，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-1，y₂-y₁=2（x₂²-x₁²），
∴x₁+x₂=-$\frac{1}{2}$，
$（\frac{{{x_2}+{x_1}}}{2}，\frac{{{y_2}+{y_1}}}{2}）$在直線y=x+m上，即$\frac{{{y_2}+{y_1}}}{2}=\frac{{{x_2}+{x_1}}}{2}+m，{y_2}+{y_1}={x_2}+{x_1}+2m$，
所以有2（x₂²+x₁²）=x₂+x₁+2m，即2[（x₂+x₁）²-2x₂x₁]=x₂+x₁+2m，
∴2m=4，∴m=2，
故答案為2．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)直線與拋物線位置關(guān)系以及點(diǎn)與直線位置的綜合考查．當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于已知直線對(duì)稱(chēng)時(shí)，有兩條結(jié)論，一是兩點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上；二是兩點(diǎn)的連線與已知直線垂直．