Question

14．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干個(gè)，每個(gè)生日蛋糕成本為50元，每個(gè)蛋糕的售價(jià)為100元，如果當(dāng)天賣不完，剩余的蛋糕作垃圾處理．現(xiàn)搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（單位：個(gè)），得到如圖所示的柱狀圖.100天記錄的各需求量的頻率作為每天各需求量發(fā)生的概率．
（1）若該蛋糕店某一天制作生日蛋糕17個(gè)，設(shè)當(dāng)天的需求量為n（n∈N），則當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）是多少？
（2）若蛋糕店一天制作17個(gè)生日蛋糕．
①求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式；
②求當(dāng)天的利潤(rùn)不低于600圓的概率．
（3）若蛋糕店計(jì)劃一天制作16個(gè)或17個(gè)生日蛋糕，請(qǐng)你以蛋糕店一天利潤(rùn)的平均值作為決策依據(jù)，應(yīng)該制作16個(gè)還是17個(gè)生日蛋糕？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥17時(shí)，Y=17×（100-50）=850，當(dāng)n≤16時(shí)，Y=100n-17×50=100n-850，由此能求出結(jié)果．
（2）①由（1）能求出當(dāng)天的利潤(rùn)Y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式．②設(shè)“當(dāng)天利潤(rùn)不低于600”為事件A，“當(dāng)天利潤(rùn)不低于600”等價(jià)于“需求量不低于15個(gè)，由此能求出當(dāng)天的利潤(rùn)不低于600元的概率．
（3）求出一天制作16個(gè)蛋糕和平均利潤(rùn)和一天制作17個(gè)蛋糕的平均利潤(rùn)，從而得到蛋糕店一天應(yīng)該制作17個(gè)生日蛋糕．

解答 解：（1）當(dāng)n≥17時(shí)，Y=17×（100-50）=850，
當(dāng)n≤16時(shí)，Y=100n-17×50=100n-850，
∴當(dāng)天的利潤(rùn)y=$\left\{\begin{array}{l}{850，n≥17}\\{100n-850，n≤16}\end{array}\right.$．n∈N．
（2）①由（1）得當(dāng)天的利潤(rùn)Y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式為：
$Y=\left\{\begin{array}{l}100n-850（n≤16）\\ 850（n≥17）\end{array}\right.（n∈N）$
②設(shè)“當(dāng)天利潤(rùn)不低于600”為事件A，由①知，“當(dāng)天利潤(rùn)不低于600”等價(jià)于
“需求量不低于15個(gè)”∴$P（A）=1-\frac{12}{100}=\frac{22}{25}$
所以當(dāng)天的利潤(rùn)不低于600元的概率為：$\frac{22}{25}$
（3）若一天制作16個(gè)蛋糕，則平均利潤(rùn)為：
$\overline{x_1}=\frac{1}{100}（600×12+700×18+800×70）=758$；
若一天制作17個(gè)蛋糕，則平均利潤(rùn)為：
$\overline{x_2}=\frac{1}{100}（550×12+650×18+750×18+850×52）=760$，
∵$\overline{x_1}＜\overline{x_2}$，∴蛋糕店一天應(yīng)該制作17個(gè)生日蛋糕．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式、概率、平均數(shù)的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．