Question

已知向量

a

=（sinωx+cosωx，sinωx），

b

=（sinωx-cosωx，2

3

cosωx），設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對(duì)稱，其中常數(shù)ω∈（0，2）
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（

α

2

）=

6

5

，且α∈（0，

π

2

），求sin（2α+

π

6

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性周期性即可得出．
（II）利用誘導(dǎo)公式、倍角公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

a

•

b

=sin²ωx-cos²ωx+2

3

sinωxcosωx
=

3

sin2ωx-cos2ωx
=2sin(2ωx-

π

6

)，
∵f(

π

3

)=±2，∴

2ωπ

3

-

π

6

=kπ+

π

2

，∴ω=

3k

2

+1∈（0，2），k=0，ω=1．
∴f（x）=2sin(2x-

π

6

)，T=π．
（II）由已知得，sin(α-

π

6

)=

3

5

，
∴sin（2α+

π

6

）=cos(2α-

π

3

)=1-2sin2(α-

π

6

)
=1-2×(

3

5

)2=

7

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性周期性、誘導(dǎo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．