Question

如圖，在半徑為R，圓心角為60°的扇形AB弧上任取一點P，作扇形的內接矩形PNMQ，使點Q在OA上，點M，N在OB上．設∠POB=a，矩形PNMQ的面積為S．求：
（1）S關于a的函數表達式S（a），并寫出其定義域；
（2）S（a）的最大值及相應的a的值．

Answer 1

分析：（1）根據已知中∠POB=a，扇形AB的，半徑為R，圓心角為60°，我們易得PN=Rsinα，PQ=Rcosα-

3

3

Rsinα，代入矩形面積公式，即可得到答案．
（2）由（1）的結論，結合α∈（0，

π

3

），結合三角函數的性質，我們易得，當2α+

π

6

=

π

2

時，S取最大值．

解答：解：（1）∵扇形AB的半徑為R，圓心角為60°
且∠POB=a，矩形PNMQ面積為S．
由題設可得S=Rsinα（Rcosα-

3

3

Rsinα）．
化簡得：S=

3

3

R²sin（2α+

π

6

）-

3

6

R²，α∈（0，

π

3

）
（2）當α=

π

6

，即∠AOP=

π

6

時，
S取最大值

3

6

R²．

點評：本題考查的知識點是在實際問題中建立三角函數模型，三角函數降冪公式及三角函數的最值，在本題中根據P為圓心角為60°的扇形AB弧上任一點，限制α∈（0，

π

3

）易被忽略，希望大家重視．