（12分）已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值； 

（Ⅱ）設(shè)，證明：對任意，.

 

【答案】

（Ⅰ）；

（Ⅱ）證明略。

【解析】(Ⅰ) f(x)的定義域?yàn)?0,+)，.  … 1分

當(dāng)a≥0時(shí)，＞0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；              … … 2分

當(dāng)a≤－1時(shí)，＜0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；             … … 3分

當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，令＝0,解得x=.當(dāng)x∈(0, )時(shí), ＞0；

x∈(，+)時(shí)，＜0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.                        … 5分

當(dāng)－1＜a＜0時(shí) 有最大值，解得… 6分

(Ⅱ)不妨假設(shè)x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.

所以等價(jià)于≥4x1－4x2,       … … 8分

即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,則   

+4＝.          … … 10分

于是≤＝≤0.            … … 11分

從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x1) ≤g(x2)，

即f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故對任意x1,x2∈(0,+) ，.… 12分

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log
13
x，若f（a3）+f（b3）=6，則f（ab）的值等于
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）的定義域分別為M，N，且M⊆N，若對任意的x∈M，都有g(shù)（x）=f（x），則稱g（x）是f（x）的“拓展函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)=
1
3
log2x，若g（x）是f（x）的“拓展函數(shù)”，且g（x）是偶函數(shù)，則符合條件的一個(gè)g（x）的解析式是
g(x)=
1
3
log2|x|（其它符合條件的函數(shù)也可）
g(x)=
1
3
log2|x|（其它符合條件的函數(shù)也可）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分16分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分．

已知函數(shù)．

（1）若，求的值；

（2）若對于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆黑龍江省海林市高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，

（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線，求,的值；

（2）當(dāng)，時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間[，2]上的最大值為28，求的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省如東縣高三12月四校聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分16分）

已知函數(shù)，

（1）若在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若對任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，設(shè)，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線 上是否存在兩點(diǎn)，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？請說明理由。

 

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