Question

記等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，設(shè)S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；  
（2）當(dāng)數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項(xiàng)和，求出首項(xiàng)與公差，寫出通項(xiàng)公式；  
（2）寫出數(shù)列{

1

Sn

}的通項(xiàng)公式，求出前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）在等差數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，S₃=a₄+6，
且a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列；
∴

a1+a2+a3=a4+6 a42=a1•a13

，
即

3a1+3d=a1+3d+6 (a1+3d)2=a1(a1+12d)

；
解得a₁=3，d=0或d=2；
當(dāng)d=0時(shí)，a_n=3；
當(dāng)d=2時(shí)，a_n=3+2（n-1）=2n+1；  
（2）當(dāng)d=0時(shí)，a_n=3，s_n=3n，
∴

1

sn

=

1

3n

，
前n項(xiàng)和為T_n=

1

3

+

1

3×2

+…+

1

3n

；
當(dāng)d=2時(shí)，a_n=3+2（n-1）=2n+1，
s_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），
∴

1

sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴前n項(xiàng)和為
T_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

2

-

1

4

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

）+

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3n2+5n

2n2+6n+4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求出前n項(xiàng)和公式，是計(jì)算題．