Question

13．某校某次N名學(xué)生的學(xué)科能力測評成績（滿分120分）的頻率分布直方圖如下，已知分?jǐn)?shù)在100-110的學(xué)生數(shù)有21人（1）求總?cè)藬?shù)N和分?jǐn)?shù)在110-115分的人數(shù)n．；
（2）現(xiàn)準(zhǔn)備從分?jǐn)?shù)在110-115的n名學(xué)生（女生占$\frac{1}{3}$）中選3位分配給A老師進(jìn)行指導(dǎo)，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示選出的3位學(xué)生中女生的人數(shù)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ；
（3）為了分析某個學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)建議，對他前7次考試的數(shù)學(xué)成績x、物理成績y進(jìn)行分析，該生7次考試成績?nèi)绫?br />

數(shù)學(xué)（x）	88	83	117	92	108	100	112
物理（y）	94	91	108	96	104	101	106

已知該生的物理成績y與數(shù)學(xué)成績x是線性相關(guān)的，求出y關(guān)于x的線性回歸方程 $\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$．若該生的數(shù)學(xué)成績達(dá)到130分，請你估計他的物理成績大約是多少？
附：對于一組數(shù)據(jù)（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$的斜率和截距的最小二乘估計分別為$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i-}\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}=\overline{y}-\stackrel{∧}\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，計算分?jǐn)?shù)在100-110內(nèi)的頻率，求出該班總?cè)藬?shù)，再計算分?jǐn)?shù)在110-115內(nèi)的頻率，計算對應(yīng)的人數(shù)；
（2）求出分?jǐn)?shù)6名學(xué)生中女生有2名，得出6名學(xué)生中選出3人，女生人數(shù)ξ的可能取值，再計算對應(yīng)的概率值，寫出ξ的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值；
（3）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)$\stackrel{∧}$、寫出對應(yīng)線性回歸方程，根據(jù)方程計算x=130時$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）分?jǐn)?shù)在100-110內(nèi)的學(xué)生的頻率為P₁=（0.04+0.03）×5=0.35，
所以該班總?cè)藬?shù)為N=$\frac{21}{0.35}$=60，
分?jǐn)?shù)在110-115內(nèi)的學(xué)生的頻率為
P₂=1-（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，
分?jǐn)?shù)在110-115內(nèi)的人數(shù)為n=60×0.1=6；
（2）由題意分?jǐn)?shù)在110-115內(nèi)有6名學(xué)生，其中女生有2名，
從6名學(xué)生中選出3人，女生人數(shù)ξ的可能取值為0，1，2；
則P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$；
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1；
（3）計算$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$×（88+83+117+92+108+100+112）=100，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$×（94+91+108+96+104+101+106）=100；
由于x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，
根據(jù)回歸系數(shù)公式得到$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i-}\overline{x}）^{2}}$=$\frac{497}{994}$=0.5，
$\stackrel{∧}{a}=\overline{y}-\stackrel{∧}\overline{x}$=100-0.5×100=50，
∴線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.5x+50，
∴當(dāng)x=130時，$\stackrel{∧}{y}$=0.5×130+50=115．

點(diǎn)評 本題考查了頻率分布直方圖與線性回歸方程以及分布列和數(shù)學(xué)期望的計算問題，是綜合性題目．