【題目】如圖,已知拋物線C:()的焦點(diǎn)F到直線的距離為.AB是過拋物線C焦點(diǎn)F的動(dòng)弦,O是坐標(biāo)原點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)分別作此拋物線的切線,兩切線相交于點(diǎn)P.
(1)求證:.
(2)若動(dòng)弦AB不經(jīng)過點(diǎn),直線AB與準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)N,記MA,MB,MN的斜率分別為,,.問:是否存在常數(shù)λ,使得在弦AB運(yùn)動(dòng)時(shí)恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)見解析 (2)存在,-1
【解析】
(1)根據(jù)已知求出拋物線方程,要證,只需證明,設(shè),,利用求導(dǎo)方法求出切線斜率,設(shè)出直線的方程,與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)關(guān)系,即可得證;
(2)設(shè)直線,求出點(diǎn)坐標(biāo),求出,利用關(guān)系,用表示,代入,判斷是否存在使得時(shí)等式均成立,即可得出結(jié)論.
(1)()
由已知,
故拋物線方程為
依題意,設(shè)直線AB方程為()
聯(lián)立得:
設(shè),,
,
(2)將代入得
,
.
若有成立,則有
整理得恒成立,.
故存在成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某北方村莊4個(gè)草莓基地,采用水培陽光栽培方式種植的草莓個(gè)大味美,一上市便成為消費(fèi)者爭相購買的對象.光照是影響草莓生長的關(guān)鍵因素,過去50年的資料顯示,該村莊一年當(dāng)中12個(gè)月份的月光照量X(小時(shí))的頻率分布直方圖如下圖所示(注:月光照量指的是當(dāng)月陽光照射總時(shí)長).
(1)求月光照量(小時(shí))的平均數(shù)和中位數(shù);
(2)現(xiàn)準(zhǔn)備按照月光照量來分層抽樣,抽取一年中的4個(gè)月份來比較草莓的生長狀況,問:應(yīng)在月光照量,,的區(qū)間內(nèi)各抽取多少個(gè)月份?
(3)假設(shè)每年中最熱的5,6,7,8,9,10月的月光照量是大于等于240小時(shí),且6,7,8月的月光照量是大于等于320小時(shí),那么,從該村莊2018年的5,6,7,8,9,10這6個(gè)月份之中隨機(jī)抽取2個(gè)月份的月光照量進(jìn)行調(diào)查,求抽取到的2個(gè)月份的月光照量(小時(shí))都不低于320的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓:,過且與圓相切的動(dòng)圓圓心為.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)已知過點(diǎn)的兩直線和互相垂直,且直線交曲線于,兩點(diǎn),直線交曲線于,兩點(diǎn)(,,,為不同的四個(gè)點(diǎn)),求四邊形的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在四邊形中,,,為中點(diǎn),將沿折到的位置,連結(jié),,如圖2.
(1)求證:;
(2)若,求平面與平面所成銳二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了增強(qiáng)消防意識,某部門從男,女職工中各隨機(jī)抽取了20人參加消防知識測試(滿分為100分),這40名職工測試成績的莖葉圖如下圖所示
(1)根據(jù)莖葉圖判斷男職工和女職工中,哪類職工的測試成績更好?并說明理由;
(2)(ⅰ)求這40名職工成績的中位數(shù),并填寫下面列聯(lián)表:
超過的人數(shù) | 不超過的人數(shù) | |
男職工 | ||
女職工 |
(ⅱ)如果規(guī)定職工成績不少于m定為優(yōu)秀,根據(jù)(ⅰ)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為消防知識是否優(yōu)秀與性別有關(guān)?
附:.
P() | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程;
(2)設(shè),其中為非零實(shí)數(shù),若有兩個(gè)極值點(diǎn),且,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將三棱錐與拼接得到如圖所示的多面體,其中,,,分別為,,,的中點(diǎn),.
(1)當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí),證明:平面;
(2)若與均為面積為的等邊三角形,求該多面體體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),以極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系,曲線分別與軸正半軸和軸正半軸交于點(diǎn),,為直線上任意一點(diǎn),點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng),且.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)求點(diǎn)軌跡圍成的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中《方田》章有弧田面積計(jì)算問題,計(jì)算術(shù)曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是,弧田面積計(jì)算公式為:弧田面積(弦乘矢+矢乘矢),弧田是由圓。ê喎Q為弧田的。┖鸵詧A弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段(簡稱 (弧田的弦)圍成的平面圖形,公式中“弦”指的是弧田的弦長,“矢”等于弧田的弧所在圓的半徑與圓心到弧田的弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田,其弦長等于,其弧所在圓為圓,若用上述弧田面積計(jì)算公式計(jì)算得該弧田的面積為,則( )
A.B.C.D.
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