Question

已知在△ABC中，兩中線AD、BE互相垂直，求

tanC

tanA

+

tanC

tanB

．

Answer 1

考點：解三角形

專題：解三角形

分析：設出三角形的三條邊長，利用中點得到BD=CD=

a

2

，AE=EC=

b

2

，DE=

1

2

AB=

c

2

．然后由直角三角形中的余弦定理得到5c²=a²+b²．把要求解的式子先化切為弦，然后結(jié)合正弦定理和余弦定理得答案．

解答： 解：如圖，
△ABC中，設BC=a，AC=b，AB=c，
∵AD⊥BE，∴∠BOA=90°，
又D與E分別為BC，AC的中點，
∴BD=CD=

a

2

，AE=EC=

b

2

．
DE=

1

2

AB=

c

2

．
①在Rt△BOD中，BO2+DO2=(

a

2

)2．
②在Rt△AOE中，AO2+EO2=(

b

2

)2．
③在Rt△EOD中，DO2+EO2=(

c

2

)2．
④在Rt△AOB中，BO²+AO²=c²．
由①+②=③+④得：5c²=a²+b²．
∴

tanC

tanA

+

tanC

tanB

=tanC•

sinBcosA+sinAcosB

sinAsinB

=tanC•

sin(A+B)

sinAsinB

=

sin2C

sinAsinBcosC

．
由正弦定理得：

sin2C

sinAsinB

=

c2

ab

，
∴上式=

c2

ab•cosC

=

c2

ab• a2+b2-c2 2ab

=

1

2

．

點評：本題考查了三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的應用，解答此題的關鍵在于由已知得到a，b，c的關系式，是中檔題．