Question

定義在R上的函數f（x）滿足對任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒為0．若x大于等于0時，f（x）為增函數，求滿足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x的取值集合．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：令x=y=1可得f（1）=0；再令x=y=-1，可得f（-1）=0；再令x=-1代入得f（-y）=f（y），所以函數f（x）是偶函數；再將f（x+1）-f（2-x）≤0變形為f（x+1）≤f（2-x），結合偶函數的性質可得到不含“f”符號的關于x的不等式，解之即可．

解答： 解：令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y），可得f（1）=0，
同理令x=y=-1，可得f（-1）=0，
再令x=-1代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（-y）=f（y），所以函數f（x）是偶函數；
f（x+1）-f（2-x）≤0可化為f（x+1）≤f（2-x），
又∵x≥0時，f（x）為增函數，
結合偶函數的圖象性質可知，當自變量取值的絕對值越小時，函數值越小，
∴|x+1|≤|2-x|，
∴（x+1）²≤（2-x）²，解得x≤

1

2

，
∴所求集合為{x|x≤

1

2

}．

點評：此類問題一般先利用賦值法求出特殊點的函數值，判斷函數的奇偶性等性質，再借助于圖象得直觀性的得到我們需要的隱含條件，最終得到關于x的具體的不等式，解之即可；這個題利用了偶函數與單調性之間的關系構造了關于x的不等式，最后不要忽視結果要寫成集合形式．