Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，令x=1即可得到斜率；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，討論①當(dāng)a≥0時(shí)，②當(dāng)a＜0時(shí)，分別求出單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)的定義域．

解答： 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=2x+lnx的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2+

1

x

，
f′（1）=2+1=3，
故曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為3；
（2）f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

（x＞0），
①當(dāng)a≥0時(shí)，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0，得x=-

1

a

．
在區(qū)間（0，-

1

a

）上，f′（x）＞0，在區(qū)間（-

1

a

，+∞）上，f′（x）＜0，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，-

1

a

），單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

a

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和求單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的思想方法，注意函數(shù)的定義域，屬于中檔題．