Question

電視臺(tái)某廣告公司特約播放兩部片集，其中片集甲每片播放時(shí)間為20分鐘，廣告時(shí)間為1分鐘，收視觀眾為60萬(wàn)；片集乙每片播放時(shí)間為10分鐘，廣告時(shí)間為1分鐘，收視觀眾為20萬(wàn)，廣告公司規(guī)定每周至少有6分鐘廣告，而電視臺(tái)每周只能為該公司提供不多于86分鐘的節(jié)目時(shí)間（含廣告時(shí)間）．
（1）問(wèn)電視臺(tái)每周應(yīng)播放兩部片集各多少集，才能使收視觀眾最多；
（2）在獲得最多收視觀眾的情況下，片集甲、乙每集可分別給廣告公司帶來(lái)a和b（萬(wàn)元）的效益，若廣告公司本周共獲得1萬(wàn)元的效益，記S=

1

a

+

1

b

為效益調(diào)和指數(shù)，求效益調(diào)和指數(shù)的最小值．（取

2

=1.41）

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用,簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)片集甲、乙分別播放x，y集，則有

x+y≥6 21x+11y≤86

（x，y∈N），要使收視觀眾最多，則只要z=60x+20y最大即可．
（2）由題意得：2a+4b=1，利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，求效益調(diào)和指數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）設(shè)片集甲、乙分別播放x，y集，則有

x+y≥6 21x+11y≤86

（x，y∈N）
要使收視觀眾最多，則只要z=60x+20y最大即可．
如圖作出可行域，易知滿足題意的最優(yōu)解為（2，4），
z_max=60×2+20×4=200，故電視臺(tái)每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收視觀眾最多．

（2）由題意得：2a+4b=1，
S=

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）（2a+4b）
=6+

2a

b

+

4b

a

≥6+4

2

=11.64（萬(wàn)元），當(dāng)且僅當(dāng)a=

2 -1

2

，b=

2- 2

4

時(shí)，取等號(hào)．
所以效益調(diào)和指數(shù)的最小值為11.64萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，考查基本不等式的運(yùn)用，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．