Question

20．對(duì)x∈R，f（x）滿足f（x）=-f（x+1），且當(dāng)x∈（-1，0]時(shí)，f（x）=x²+2x，求當(dāng)x∈[9，11]的解析式．

Answer 1

分析 利用函數(shù)性質(zhì)得出f（x）在（0，1]上的解析式和周期，利用函數(shù)周期得出f（x）在[9，11]上的解析式．

解答 解：∵f（x）=-f（x+1），∴f（x+1）=-f（x+2），
∴f（x）=f（x+2），
∴f（x）是以2為周期的函數(shù)．
設(shè)x∈（0，1]，則x-1∈（-1，0]，
∴f（x-1）=（x-1）²+2（x-1）=x²-1，
∴當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=-f（x-1）=1-x²．
又f（x）的周期為2，
∴當(dāng)x∈[9，10]時(shí)，f（x）=f（x-10）=（x-10）²+2（x-10）=x²-18x+80，
當(dāng)x∈（10，11]時(shí)，f（x）=f（x-10）=1-（x-10）²=-x²+20x-99．
∴f（x）在[9，11]上的解析式為：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-18x+80，9≤x≤10}\\{-{x}^{2}+20x-99，10＜x≤11}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式與函數(shù)周期的關(guān)系，屬于中檔題．