Question

【題目】如圖，已知五棱錐P－ABCDE，其中ABE，PCD均為正三角形，四邊形BCDE為等腰梯形，BE＝2BC＝2CD＝2DE＝4，PB＝PE＝．

（Ⅰ）求證：平面PCD⊥平面ABCDE；

（Ⅱ）若線段AP上存在一點(diǎn)M，使得三棱錐P－BEM的體積為五棱錐P－ABCDE體積的，求AM的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明略；（Ⅱ）AM＝．

【解析】

（1）取CD中點(diǎn)O，根據(jù)正三角形性質(zhì)得,再取BE中點(diǎn)N,根據(jù)勾股定理計(jì)算得,由線面垂直判定定理得平面,最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論，（2）先作M到平面的垂線，再根據(jù)錐體體積公式計(jì)算AM的長(zhǎng)．

(1)取CD中點(diǎn)O，BE中點(diǎn)N,連PN,ON.

因?yàn)?/span>PCD為正三角形，所以，，

因?yàn)?/span>PB＝PE＝BE＝4，所以，

因?yàn)樗倪呅?/span>BCDE為等腰梯形，所以，

因?yàn)?/span>,所以，

因?yàn)?/span>平面,所以平面,

因?yàn)?/span>平面，因此平面 平面,

（2）因?yàn)?/span>ABE為正三角形，四邊形BCDE為等腰梯形，所以三點(diǎn)共線，

過(guò)M作 于,則,

因?yàn)?/span>平面,所以平面,

因?yàn)槿�棱錐P－BEM的體積為五棱錐P－ABCDE體積的，

所以

從而