【題目】一種畫橢圓的工具如圖1所示.O是滑槽AB的中點(diǎn),短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動,長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動,且DN=ON=1,MN=3,當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動時,帶動N繞O轉(zhuǎn)動,M處的筆尖畫出的橢圓記為C,以O(shè)為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)動直線l與兩定直線l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分別交于P,Q兩點(diǎn).若直線l總與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn),試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:設(shè)D(t,0),|t|≤2,
N(x0,y0),M(x,y),由題意得 =2 ,
且| |=| |=1,
∴(t﹣x,﹣y)=2(x0﹣t,y0),且 ,
即 ,且t(t﹣2x0)=0,
由于當(dāng)點(diǎn)D不動時,點(diǎn)N也不動,∴t不恒等于0,
于是t=2x0,故x0= ,y0=﹣ ,
代入x02+y02=1,得方程為 .
(2)解:①當(dāng)直線l的斜率k不存在時,直線l為:x=4或x=﹣4,都有S△OPQ= ,
②直線l的斜率k存在時,直線l為:y=kx+m,(k ),
由 消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,
∵直線l總與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn),
∴△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣16)=0,即m2=16k2+4,①,
由 ,可得P( , ),同理得Q( , ),
原點(diǎn)O到直線PQ的距離d= 和|PQ|= |xP﹣xQ|,
可得S△OPQ= |PQ|d= |m||xP﹣xQ|= |m|| |=| |②,
將①代入②得S△OPQ=| |=8| |,
當(dāng)k2> 時,S△OPQ=8( )=8(1+ )>8,
當(dāng)0≤k2< 時,S△OPQ=8| |=﹣8( )=8(﹣1+ ),
∵0≤k2< 時,∴0<1﹣4k2≤1, ≥2,
∴S△OPQ=8(﹣1+ )≥8,當(dāng)且僅當(dāng)k=0時取等號,
∴當(dāng)k=0時,S△OPQ的最小值為8,
綜上可知當(dāng)直線l與橢圓C在四個頂點(diǎn)處相切時,三角形OPQ的面積存在最小值為8.
【解析】(1)根據(jù)條件求出a,b即可求橢圓C的方程;(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,求出原點(diǎn)到直線的距離,結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,已知a1= ,an+1= an﹣ ,n∈N* , 設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和.
(1)求證:數(shù)列{3nan}是等差數(shù)列;
(2)求Sn;
(3)是否存在正整數(shù)p,q,r(p<q<r),使Sp , Sq , Sr成等差數(shù)列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,說明理由.
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【題目】在直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4 sinθ. (Ⅰ)將C2的方程化為直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)C1 , C2交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ,求|PA|+|PB|.
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【題目】正三角形的邊長為,將它沿高翻折,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為,此時四面體外接球表面積為
A. B. C. D.
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【題目】在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}和正項(xiàng)等差數(shù)列{bn}中,已知a1 , a2017的等比中項(xiàng)與b1 , b2017的等差中項(xiàng)相等,且 + ≤1,當(dāng)a1009取得最小值時,等差數(shù)列{bn}的公差d的取值集合為( )
A.{d|d≥ }
B.{d|0<d< }
C.{ }
D.{d|d≥ }
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【題目】已知點(diǎn)P( , )在橢圓E: + =1(a>b>0)上,F(xiàn)為右焦點(diǎn),PF垂直于x軸,A,B,C,D為橢圓上四個動點(diǎn),且AC,BD交于原點(diǎn)O.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),滿足 = ,判斷kAB+kBC的值是否為定值,若是,求出此定值,并求出四邊形ABCD面積的最大值,否則請說明理由.
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【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0, )的部分圖象如圖所示,將函數(shù)f(x)的圖象向右平移 個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)間 ( )上的值域?yàn)閇﹣1,2],則θ= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足 .
(1)求∠ABC;
(2)若 ,D為△ABC外一點(diǎn),DB=2,DC=1,求四邊形ABDC面積的最大值.
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