Question

四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示．
（1）在四凌錐中，E為線段PD的中點(diǎn)，求證：PB∥平面AEC；
（2）在四凌錐中，F(xiàn)為線段PA上的點(diǎn)，且

PF

FA

=λ，則λ為何值時(shí)，PA⊥平面DBF？并求此時(shí)幾何體F-BDC的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中的三視圖作出四棱錐P-ABCD的直觀圖，設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O，連結(jié)OE，利用三角形中位線定理證出OE∥PB，再由線面平行判定定理，即可，證出PB∥平面AEC；
（2）過(guò)O作OF⊥PA于F，根據(jù)題中數(shù)據(jù)在Rt△POA中算出PF=

1

2

，AF=

3

2

，從而得出λ=

PF

FA

=

1

3

．由線面垂直判定定理，證出PA⊥平面BFD．作FH∥PO交AO于H，可得FH⊥平面BCD，由λ=

1

3

算出FH的長(zhǎng)，利用錐體的體積公式加以計(jì)算，即可得出此時(shí)幾何體F-BDC的體積．

解答：解：（1）根據(jù)題中的三視圖，作出四棱錐P-ABCD的直觀圖，如圖所示．
連結(jié)AC、BD，設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O，連結(jié)OE
∵OE是△PBD的中位線，∴OE∥PB，
∵OE?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC；
（2）過(guò)O作OF⊥PA于F，
在Rt△POA中，PO=1，AO=

3

，PA=2
∴PF=

PO2

PA

=

1

2

，AF=

3

2

，λ=

PF

FA

=

1

3

∵PA⊥BD，BD∩FO=O，∴PA⊥平面BFD．
當(dāng)

PF

FA

=

1

3

時(shí)，在△PAO中作FH∥PO，交AO于H，則FH⊥平面BCD，
∵FH∥PO，得FH=

3

4

PO=

3

4

，
∴三棱錐F-BDC的體積V=

1

3

S△BCD•FH=

1

3

×

3

×

3

4

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出幾何體的三視圖，求證幾何體中線面平行并求錐體的體積．著重考查了線面平行判定定理、線面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積求法等知識(shí)，屬于中檔題．