已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1(－3，0)，一條漸近線的方程是．

(Ⅰ)求雙曲線C的方程；

(Ⅱ)若以k(k≠0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：設雙曲線的方程為，由題設得

　　　　解得

　　所以雙曲線的方程為．

　　(Ⅱ)解：設直線的方程為，點，的坐標滿足方程組

　　

　　將①式代入②式，得，整理得

　　．

　　此方程有兩個不等實根，于是，且

　　．整理得

　　．　�、�

　　由根與系數(shù)的關系可知線段的中點坐標滿足

　　，．

　　從而線段的垂直平分線的方程為

　　．

　　此直線與軸，軸的交點坐標分別為，．由題設可得

　　．

　　整理得

　　，．

　　將上式代入③式得，

　　整理得

　　，．

　　解得或．

　　所以的取值范圍是

　　本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．滿分14分．


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（08年龍巖一中沖刺文）（分）已知雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，右準線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點，R是弦PQ的中點.

   （1）求雙曲線C的方程；

   （2）若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動點，且2|AB|=|F1F2|，求線段AB的中點M的跡方程，并說明該軌跡是什么曲線。

   （3）若在雙曲線右準線L的左側能作出直線m:x=a，使點R在直線m上的射影S滿足，當點P在曲線C上運動時，求a的取值范圍.

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