Question

為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間(單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知,當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時(shí)，它才能起到凈化空氣的作用．
（1）若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天?
（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑a（）個(gè)單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）．

Answer 1

（1）可達(dá)8天;（2）a的最小值為．

試題分析：（1）根據(jù)題中條件每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間(單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系已經(jīng)給出，則易得一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑時(shí)的函數(shù)關(guān)系式：，這樣就得到一個(gè)分段函數(shù)，對(duì)分段函數(shù)的處理常用的原則：先分開，現(xiàn)合并，解兩個(gè)不等式即可求解; （2）中若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑a（）個(gè)單位的藥劑，根據(jù)題意從第6天開始濃度來源與兩方面，這是題中的難點(diǎn)，前面留下的為：，后面新增的為：，所得化簡即可得到：，結(jié)合基本不等式知識(shí)求出最小值，最后解一個(gè)不等式：，即可求解．
試題解析：（1）因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的凈化劑，
所以濃度
則當(dāng)時(shí)，由，解得，所以此時(shí)．        3分
當(dāng)時(shí)，由解得，所以此時(shí)．
綜合得，若一次投放4個(gè)單位的制劑，則有效凈化時(shí)間可達(dá)8天．       7分
（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x（）天，
濃度．  10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043304688581.png" style="vertical-align:middle;" />，而，
所以，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，y有最小值為.
令，解得，所以a的最小值為．    14分