Question

函數(shù)，其圖象在處的切線方程為．

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P的直線若能與曲線圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積相等？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）由題意得，且，

∴即解得，，

∴．……………………………………………………………4分

（Ⅱ）由，可得，

，

則由題意可得有三個(gè)不相等的實(shí)根，

即的圖象與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

，則的變化情況如下表．

				4
	＋	0	－	0	＋
	↗	極大值	↘	極小值	↗

則函數(shù)的極大值為，極小值為．……………………6分

的圖象與的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，則有：

解得．……………………………………………………8分

（Ⅲ）存在點(diǎn)P滿足條件．……………………………………………………………9分

∵，∴，由，得，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．可知極值點(diǎn)為，，線段AB中點(diǎn)在曲線上，且該曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．證明如下：∵，∴

，∴．

上式表明，若點(diǎn)為曲線上任一點(diǎn)，其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)也在曲線上，曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．故存在點(diǎn)，使得過(guò)該點(diǎn)的直線若能與曲線圍成兩個(gè)封閉圖形，這兩個(gè)封閉圖形的面積相等．…………14分

【解析】略