Question

下列命題正確的是（　　）
①兩個(gè)奇函數(shù)的積仍是奇函數(shù)；
②兩個(gè)增函數(shù)的積仍是增函數(shù)；
③函數(shù)y=lnx對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

；
④函數(shù)y=f（x）對(duì)定義域內(nèi)任意x₁，x₂，當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，則函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)．

A．①②③④

B．①②③

C．②③

D．③

Answer 1

分析：根據(jù)奇函數(shù)的定義域的特征，通過舉反例得到①是錯(cuò)誤的；根據(jù)函數(shù)單調(diào)增的定義，通過舉反例得到②是錯(cuò)誤的；運(yùn)用基本不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx的單調(diào)性，可以證明出③是正確的；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合題中條件，可以證明出④中的函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，故④錯(cuò)誤，因此可得正確選項(xiàng)．

解答：解：對(duì)于①，兩個(gè)奇函數(shù)的積在它們公共的定義域內(nèi)仍然是奇函數(shù)，
但是如果它們的定義域的交集是空集，則它們的積構(gòu)不成函數(shù)，
更談不到奇偶性了，
比如：f（x）=

1-x2

x

是定義在[-1，0）∪（0，1]上的奇函數(shù)
g（x）=

x2-4

x

是定義在（-∞，-2]∪[2，+∞）上的奇函數(shù)
但y=f（x）g（x）的定義域是空集，不符合奇函數(shù)的定義，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，兩個(gè)函數(shù)如果是恒為正值且為增函數(shù)，則它們積對(duì)應(yīng)的函數(shù)還是增函數(shù)，
但是如果沒有恒正的條件，積對(duì)應(yīng)的函數(shù)則未必是增函數(shù)，
比如：f（x）=x在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
g（x）=-

1

x

在區(qū)間（0，+∞）上也是增函數(shù)，
但y=f（x）g（x）=-1是常數(shù)函數(shù)，不是增函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，函數(shù)y=lnx對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），
∵f(

x1+x2

2

)=ln

x1+x2

2

，

x1+x2

2

≥

x1x2

∴根據(jù)函數(shù)y=lnx是增函數(shù)，可得f(

x1+x2

2

)≥ln

x1x2

∵

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

 (lnx1+lnx2)=

1

2

ln(x1x2) =ln

x1x2

∴f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

，故③正確；
對(duì)于④，函數(shù)y=f（x）對(duì)定義域內(nèi)任意x₁，x₂，當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，說明當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＞f（x₂），
說明函數(shù)y=f（x）在其定義域上是一個(gè)減函數(shù)，故④錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的命題只有③
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題借助命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查了函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．