Question

已知偶函數y=f（x）（x∈R）在區(qū)間[-1，0]上單調遞增，且滿足f（1-x）+f（1+x）=0，給出下列判斷：
①f（5）=0；
②f（x）在[1.2]上是減函數；
③f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
④函數y=f（x）在x=0處取得最大值；
⑤函數y=f（x）沒有最小值（x∈R）．
其中正確論斷的序號是（　　）

A．①③④

B．②④⑤

C．①②④

D．③④⑤

Answer 1

分析：分別利用函數的奇偶性，單調性和周期性進行推理和判斷，由f（1-x）+f（1+x）=0得到f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），得到函數的周期為2．

解答：解：由f（1-x）+f（1+x）=0得到f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），所以f（2+x）=f（x），所以函數的周期是2．
當x=0時，f（1）+f（1）=0，所以f（1）=0，因為f（5）=f（4+1）=f（1）=0，所以①正確．
因為y=f（x）（x∈R）在區(qū)間[-1，0]上單調遞增，周期為2，所以函數在在區(qū)間[1，2]上單調遞增，所以②錯誤．
因為y=f（x）是偶函數，所以f（2+x）=f（x）=f（-x），所以對稱軸為x=1，所以f（x）的圖象關于直線x=1對稱，所以③正確．
因為偶函數y=f（x）（x∈R）在區(qū)間[-1，0]上單調遞增，則在[0，1]上單調遞減，且周期為2，所以y=f（x）在x=0處取得最大值，在x=-1時取得最小值．所以④正確，⑤錯誤．
故選A．

點評：本題主要考查函數的奇偶性，單調性和周期性的綜合應用，要求熟練掌握相應的性質．