Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{m{x}^{2}+（m+n）x+1}{2}$（x∈R），且f（x）有兩個極值點x₁，x₂，滿足x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），點P（m，n）在平面直角坐標系中表示的平面區(qū)域為D，若函數(shù)y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點，則實數(shù)a的取值范圍是（1，3）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于m，n的不等式組，畫出滿足條件的平面區(qū)域，結(jié)合圖象求出a的范圍即可．

解答 解：求導(dǎo)函數(shù)可得f'（x）=x²+mx+$\frac{1}{2}$（m+n），
依題意知，方程f'（x）=0有兩個根x₁、x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+mx+$\frac{1}{2}$（m+n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n＞0}\\{2+3m+n＜0}\end{array}\right.$，
如圖示：

∵直線m+n=0，2+3m+n=0的交點坐標為（-1，1）
∴要使函數(shù)y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D上的點，
則必須滿足1＜log_a（-1+4）
∴l(xiāng)og_a3＜1，解得a＜3
又∵a＞1，
∴1＜a＜3，
故答案為：（1，3）．

點評 本題考查了線性規(guī)劃問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．