已知數(shù)列
滿足
，
．
（1）求
的值，由此猜測的通項公式，并證明你的結論；
（2）證明：
．
（1）猜想
，證明詳見解析；（2）證明詳見解析.
解析試題分析：（1）根據(jù)遞推關系，依次附值
即可得到的取值，進而作出猜想，然后再用數(shù)學歸納法證明即可；（2）先化簡
，進而采用放縮法得到
，進而將
取1，2，3，……，時的不等式相乘即可證明不等式
，然后構造函數(shù)
，確定該函數(shù)在區(qū)間
上的單調性，進而得到
在恒成立，從而可得
即
，問題得以證明.
（1）令可知
，
，
猜想，下用數(shù)學歸納法證明.
（1）
時，顯然成立；
（2）假設
時，命題成立.即
.
當
時，由題可知
.
故時，命題也成立.
由（1）（2）可知，.
（2）證明：∵
∴
由于
，可令函數(shù)，則
，令
，得
，給定區(qū)間，則有
，則函數(shù)
在上單調遞減，∴
，即在恒成立，又
，則有，即
所以
.
考點：1.數(shù)學歸納法；2.數(shù)列不等式的證明——放縮法、構造函數(shù)法、數(shù)學歸納法等.
備戰(zhàn)中考寒假系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
的前n項和
滿足
（1）寫出數(shù)列的前3項
、
、
；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）證明對于任意的整數(shù)
有
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
的前
項和為
滿足
，且
.
（1）試求出
的值；
（2）根據(jù)的值猜想出關于的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的結論.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知實數(shù)
，且
按某種順序排列成等差數(shù)列．
（1）求實數(shù)
的值；
（2）若等差數(shù)列
的首項和公差都為，等比數(shù)列
的首項和公比都為，數(shù)列和的前
項和分別為
，且
，求滿足條件的自然數(shù)的最大值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
的前三項分別為
，
，
，（其中
為正常數(shù)）。設
。
（1）歸納出數(shù)列的通項公式，并證明數(shù)列不可能為等比數(shù)列；
（2）若=1，求
的值；
（3）若=4，試證明：當
時，
．
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的前
項和
，則
．
，
滿足
，
，
，數(shù)列
項和為
，
.
；
時，
．
中，
，且
成等比數(shù)列.
，證明：
.
的通項
，
.
；
，求數(shù)列
的最大項和最小項.