Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲線y=f（x）通過點(diǎn)（0，2a+3），且在x=1處的切線垂直于y軸．
（Ⅰ）用a分別表示b和c；
（Ⅱ）當(dāng)bc取得最大值時(shí)，寫出y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，g（x）滿足

4

3

f(x)-6=（x-2）g（x）（x＞2），求g（x）的最大值及相應(yīng)x值．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=2a+3，以及f'（1）=0即得結(jié)論；
（2）配方成關(guān)于a的二次函數(shù)再求最大值，從而求出a，b，c；
（3）求出g（x）的表達(dá)式，再用變量分離，將分子常數(shù)化，運(yùn)用基本不等式求最大值．

解答：解：（1）由已知得f（0）=2a+3，所以c=2a+3-------2分
又因?yàn)閒（x）在x=1處的切線垂直于y軸，即切線的斜率為0，因?yàn)閒'（x）=2ax+b
所以f'（1）=0即2a+b=0，所以b=-2a---------4分
（2）bc=-2a（2a+3）=-2(a+

3

4

)2+

9

4

-------5分
所以當(dāng)a=-

3

4

時(shí)，bc取得最大值，此時(shí)b=

3

2

，c=

3

2

∴f(x)=-

3

4

x2+

3

2

x+

3

2

---------------7分
（3）∵f(x)=-

3

4

x2+

3

2

x+

3

2

∴

4

3

f(x)-6=-x2+2x-4
又x＞2，∴g(x)=

-x2+2x-4

x-2

=-x-

4

x-2

=-(x-2)-

4

x-2

-2------------9分
∵x＞2∴x-2＞0
∴x-2+

4

x-2

≥4，∴-(x-2)-

4

x-2

≤-4
當(dāng)且僅當(dāng)x-2=

4

x-2

即x=4時(shí)等號成立．-----11分
∴g（x）≤-6
即g（x）的最大值為-6．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算和二次函數(shù)的最值以及用基本不等式求分式函數(shù)的最值，當(dāng)然也可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求分式函數(shù)的最值，同學(xué)可試試，比較一下繁簡．