Question

求出下列函數的值域：
①y=

1

x2-2x+3

；
②y=

1

x2-2x-3

；
③y=

x2

x2+2x+3

．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：依次求函數的值域，注意討論．①配方法；②配方法；③轉化為方程的思想．

解答： 解：①∵

1

x2-2x+3

=

1

(x-1)2+2

，
∴0＜

1

(x-1)2+2

≤

1

2

，
故函數的值域為（0，

1

2

]；
②∵

1

x2-2x-3

=

1

(x-1)2-4

，
又∵（x-1）²-4≥-4，
∴

1

(x-1)2-4

≤-

1

4

或

1

(x-1)2-4

＞0，
∴函數的值域為（-∞，-

1

4

]∪（0，+∞）；
③∵y=

x2

x2+2x+3

，且x²+2x+3＞0
上式可化為（y-1）x²+2yx+3y=0，
當y-1=0時，方程有解，
當y-1≠0時，△=（2y）²-4（y-1）3y≥0，
解得，0≤y≤

3

2

．
綜上所述，函數的值域為[0，

3

2

]．

點評：本題考查了求值域的方法，要注意它們之間的不同．