Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2

2

，E，F(xiàn)分別是BC，AA₁的中點．
求（1）異面直線EF和A₁B所成的角．
（2）三棱錐A-EFC的體積．

Answer 1

分析：（1）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點F，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（2）根據(jù)三棱錐的體積公式直接求解即可．

解答：解：（1）取AB的中點D，連DE、DF，則DF∥A₁B，
∴∠DFE（或其補角）即為所求．
由題意易知，DF=

3

，DE=1，AE=

2

由DE⊥AB、DE⊥AA₁得DE⊥平面ABB₁A₁
∴DE⊥DF，即△EDF為直角三角形，
∴tan∠DFE=

DE

DF

=

1

3

=

3

3

，∴∠DFE=30°
即異面直線EF和A₁B所成的角為30°．
（2）V_A-EFC=V_F-AEC-=

1

3

•S△AEC•FA=

1

3

•

1

2

•

2

•

2

•

2

=

2

3

．

點評：本小題主要考查異面直線所成的角，以及體積的計算，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．