Question

在直角坐標(biāo)系xoy上取兩個(gè)定點(diǎn)A₁（-2，0），A₂（2，0），再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N₁（0，m），N₂（0，n），且mn=3．則直線A₁N₁與A₂N₂交點(diǎn)的軌跡M的方程

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）

．

Answer 1

分析：由已知中定點(diǎn)A₁（-2，0），A₂（2，0），和動(dòng)點(diǎn)N₁（0，m），N₂（0，n）的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式，可得直線A₁N₁的方程和直線A₂N₂的方程，兩式相乘得y²=-

1

4

（mn）（x²-4），代入mn=3，整理后可得軌跡M的方程．

解答：解：∵定點(diǎn)A₁（-2，0），A₂（2，0），動(dòng)點(diǎn)N₁（0，m），N₂（0，n），
則直線A₁N₁的方程為：y=

m

2

（x+2）…①
則直線A₂N₂的方程為：y=-

n

2

（x-2）…②
設(shè)Q（x，y）是直線A₁N₁與直線A₂N₂的交點(diǎn)
①×②得
y²=-

1

4

（mn）（x²-4）
由mn=3得
y²=-

3

4

（x²-4）
整理得

x2

4

+

y2

3

=1
∵N₁（0，m），N₂（0，n）均不與原點(diǎn)重合
故A₁（-2，0），A₂（2，0）不在軌跡M上
∴直線A₁N₁與A₂N₂交點(diǎn)的軌跡M的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）
故答案為：

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，其中由已知求出直線A₁N₁的方程和直線A₂N₂的方程，并將兩式相乘消去mn，是解答的關(guān)鍵，最后易忽略A₁（-2，0），A₂（2，0）不在軌跡M上．