Question

已知函數(shù) ，．

   (1）當(dāng)  時(shí)，求函數(shù)  的最小值；

   (2）當(dāng)  時(shí)，討論函數(shù)  的單調(diào)性；

   (3）是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的 ，且，有,恒成立，若存在求出的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）最小值為 ．（2）（1）當(dāng)時(shí)，若為增函數(shù)；

為減函數(shù)；為增函數(shù)．

(2)當(dāng)時(shí),時(shí),為增函數(shù);

（3）當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；

為減函數(shù)；

為增函數(shù)．  

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值，和不等式的證明綜合運(yùn)用。

（1）利用已知函數(shù)求解函數(shù)的定義域，然后求解導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零的解得到單調(diào)區(qū)間。

（2）根據(jù)已知的函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于參數(shù)a分情況討論，得到最值。

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足題意，則利用函數(shù)的 單調(diào)性得到a的范圍

解；（1）顯然函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415061525699081/SYS201208241506487987186384_DA.files/image013.png">，       .........1分

當(dāng)．     ............2分

∴ 當(dāng)，．

∴在時(shí)取得最小值，其最小值為 ．  ........ 4分

（2）∵， ....5分

∴（1）當(dāng)時(shí)，若為增函數(shù)；

為減函數(shù)；為增函數(shù)．

(2)當(dāng)時(shí),時(shí),為增函數(shù);

（3）當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；

為減函數(shù)；

為增函數(shù)．    ............ 9分

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意的 ，且，有,恒成立，不妨設(shè)，只要，即：

令，只要 在為增函數(shù)

又函數(shù)．

    考查函數(shù)   ............10分

      要使在恒成立，只要，

             故存在實(shí)數(shù)時(shí)，對(duì)任意的 ，且，有,恒成立，