Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F和橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的右焦點(diǎn)重合．
（1）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)P（1，2），是否存在平行于OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OP與l的距離等于

5

5

？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的右焦點(diǎn)F（1，0），知

p

2

=1，p=2，由此能求出拋物線C的方程和其準(zhǔn)線方程．．
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為2x+b，由

y2=4x y=2x+b

，得y²-2y+2b=0，由直線l與拋物線有公共點(diǎn)，知△=4-8b≥0，由直線OP與l的距離d=

5

5

，知b=±1．由此能導(dǎo)出符合題意的直線l存在，其方程為y=2x-1．

解答：解：（1）∵橢圓的右焦點(diǎn)F（1，0），
∴

p

2

=1，p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x，
其準(zhǔn)線方程為x=-1．
（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為2x+b，
由

y2=4x y=2x+b

，得y²-2y+2b=0，
∵直線l與拋物線有公共點(diǎn)，
∴△=4-8b≥0，即b≤

1

2

，
∵直線OP與l的距離d=

5

5

，
∴

|b|

5

=

1

5

，即b=±1．
從而b=-1．
∴符合題意的直線l存在，其方程為y=2x-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．