Question

在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點落在線段DC上．
（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；
（Ⅱ）求折痕的長的最大值．

Answer 1

分析：（I）因為折疊過程中，A點落在線段DC上，特別的如果折疊后AD重合，這時候折痕所在直線的斜率為0，若AD不重合，這時候折痕所在直線的斜率不為0，然后根據(jù)A點和對折后的對應點關(guān)于直線折痕對稱，我們可以求出直線方程．
（II）同（I）的分析，我們要對痕所在直線的斜率分類討論，斜率為0時，易得結(jié)論，斜率不為0時，我們又要分折痕所在直線與矩形兩邊的交點在左右兩邊、上下兩邊、左下兩邊三種情況討論，本小題分類情況比較多，故解答要細心！

解答：解：（I）（1）當k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程y=

1

2

．
（2）當k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為G（a，1）（0＜a≤2），
所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有k_OG•k=-1，

1

a

k=-1?a=-k．
故G點坐標為G（-k，1）（-2≤k＜0）．
從而折痕所在的直線與OG的交點坐標（線段OG的中點）為M（-

k

2

，

1

2

）．
折痕所在的直線方程y-

1

2

=k（x+

k

2

），即y=kx+

k2

2

+

1

2

（-2≤k＜0）．
由（1）、（2）得折痕所在的直線方程為：
k=0時，y=

1

2

；k≠0時y=kx+

k2

2

+

1

2

（-2≤k＜0）．

（II）（1）當k=0時，折痕的長為2；
（2）當k≠0時，①如下圖，折痕所在的直線與邊AD、BC的交點坐標為N（0，

k2+1

2

），P（2，2k+

k2+1

2

）．

這時，-2+

3

＜k＜0，y=PN²=4+4k²=4（1+k²）∈（4，16（2-

3

））
②如下圖，折痕所在的直線與邊AD、AB的交點坐標為N（0，

k2+1

2

），P（-

k2+1

2k

，0）．

這時，-1≤k≤-2+

3

，y=(

k2+1

2

)2+(-

k2+1

2k

)2=

(k2+1)3

4k2

．
y′=

3(k2+1)2•2k•4k2-(k2+1)3•8k

16k4

=

(k2+1)2(2k2-1)

2k3

令y′=0解得k=-

2

2

，
∵y=|_k=-1=2，y=|k=-

2

2

=

27

16

，y|k=-2+

3

=16（2-

3

），
∴y∈[

27

16

，16（2-

3

）]
③如下圖，折痕所在的直線與邊CD、AB的交點坐標為N（

1-k2

2k

，1），P（-

k2+1

2k

，0）．

這時，-2≤k＜-1，y=PN²=(

1

k

)2+1∈[

5

4

，2）．
綜上述，y_max=16（2-

3

）
所以折痕的長度的最大值

16(2- 3 )

=2（

6

-

2

）（≈2.07）．

點評：分類討論思想是中學的四大數(shù)學思想之一，利用分類討論思想一方面可將復雜的問題分解成若干個簡單的問題，另一方面恰當?shù)姆诸惪杀苊鈦G值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，提高周密嚴謹?shù)臄?shù)學教養(yǎng)．但在針對本題的解答中，要注意分析所有的可能情況，并要注意不重分，不漏分．