Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°角，AA₁=2，底面ABC是邊長為2的三角形，G為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，E是線段BC₁上一點(diǎn)，且

BE

=

1

3

BC1

，

GE

=

1

3

AB1

．
（1）請判斷點(diǎn)G在三角形ABC內(nèi)的位置；
（2）求平面B₁GE與底面ABC所成銳角二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）先取AB中點(diǎn)O，根據(jù)∠A₁AB=60°以及AA₁=AB=2，得到AO⊥底面ABC；再O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系求出各點(diǎn)的坐標(biāo)；結(jié)合

BE

=

1

3

BC1

求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再結(jié)合

GE

=

1

3

AB1

求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論．
（2）先根據(jù)條件求出兩個平面的法向量，再直接代入向量夾角的計算公式即可求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，側(cè)棱AA₁與底面ABC成60⁰角
∴∠A₁AB=60°；
又AA₁=AB=2，取AB中點(diǎn)O，則AO⊥底面ABC，…（1分）
以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：
則A₁（0，0，

3

），B₁（0，2，

3

），C₁（

3

，1，

3

）
A（0，-1，0），B（0，1，0），C（

3

，0，0）
設(shè)G（x，y，0）
∵

BE

=

1

3

BC 1

，∴E（

3

3

，1，

3

3

）．
又∵

GE

=

1

3

AB 1

，

AB 1

=（0，3，

3

），

GE

=（

3

3

-x，1-y，

3

3

）．
∴G（

3

3

，0，0）．
所以：G為中心．…（6分）
（2）設(shè)平面B₁GE的法向量為

n

=（x，y，z），則由

n

•

B   1E

=0及

n

•

GE

=0．
∴

y+ 3 3 z=0 3 3 x-y- 2 3 3 z=0

得

n

=（

3

，-1，

3

）．，…（8分）
又底面ABC的法向量為

m

=（0，0，1），設(shè)平面B₁GE與底面ABC所成銳角二面角的大小為θ
所以：cosθ=

| m • n |

| m |•| n |

=

21

7

，
故θ=arccos

21

7

．
∴平面B₁GE與底面ABC所成銳角二面角的大小為arccos

21

7

…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了點(diǎn)的位置的判定，以及二面角的度量等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題，本題解題的關(guān)鍵是找出二面角的平面角對應(yīng)的法向量．