Question

19．已知函數(shù)f（x）=xlnx+（x-1）²，且x₀是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．給出以下幾個(gè)結(jié)論：
①$0＜{x_0}＜\frac{1}{e}$；
②$\frac{1}{e}＜{x_0}＜1$；
③f（x₀）+x₀＜0；
④f（x₀）+x₀＞0
其中結(jié)論正確的是②④．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理，可判斷①②；f（x₀）+x₀=x₀lnx₀+（x₀-1）²+x₀=x₀（lnx₀+2x₀-1）+1-${{x}_{0}}^{2}$＞0，可判斷③④．

解答 解：f（x）=xlnx+（x-1）²，定義域是（0，+∞），
f′（x）=lnx+2x-1，顯然f′（x）是增函數(shù)，
而f′（$\frac{1}{e}$）=-2+$\frac{2}{e}$＜0，f′（1）=1＞0，
∴$\frac{1}{e}$＜x₀＜1，
∴①錯(cuò)誤，②正確，
f（x₀）+x₀=x₀lnx₀+（x₀-1）²+x₀=x₀（lnx₀+2x₀-1）+1-${{x}_{0}}^{2}$=1-${{x}_{0}}^{2}$＞0
∴③錯(cuò)誤，④正確，
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．