Question

17．已知函數(shù)f（x）=2x²-4x+a，g（x）=log_ax（a＞0且a≠1）．
（1）若函數(shù)f（x）在[-1，3m]上不具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若f（1）=g（1）
①求實(shí)數(shù)a的值；
②設(shè)t₁=$\frac{1}{2}$f（x），t₂=g（x），t₃=2^x，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，試比較t₁，t₂，t₃的大�。�

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[-1，3m]上不單調(diào)，以3m＞1，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）①因?yàn)閒（1）=g（1），所以-2+a=0，解得實(shí)數(shù)a的值；
②設(shè)t₁=$\frac{1}{2}$f（x），t₂=g（x），t₃=2^x，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，求出三個(gè)函數(shù)的值域，可得答案．

解答 解：（1）因?yàn)閽佄锞�y=2x²-4x+a開口向上，對(duì)稱軸為x=1，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[-1，3m]上不單調(diào)，
所以3m＞1，…（2分）
得$m＞\frac{1}{3}$，…（3分）
（2）①因?yàn)閒（1）=g（1），所以-2+a=0，…（4分）
所以實(shí)數(shù)a的值為2．…（5分）
②因?yàn)閠₁=$\frac{1}{2}$f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
t₂=g（x）=log₂x，
t₃=2^x，
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，t₁∈（0，1），…（7分）
t₂∈（-∞，0），…（9分）
t₃∈（1，2），…（11分）
所以t₂＜t₁＜t₃．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．