【題目】如圖,在三棱柱中,平面平面,為正三角形,為線段的中點(diǎn).

1)證明:平面平面;

2)若與平面所成角的大小為60°,,求二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析;(2

【解析】

1)設(shè),的中點(diǎn)分別為,連接,,先證明平面,再通過證明四邊形為平行四邊形,得到,則可得平面,進(jìn)而可證明平面平面;

2)先得到與平面所成的角,故,再以為原點(diǎn),分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出面的一個法向量和平面的一個法向量,利用向量的夾角公式可求.

1)設(shè),的中點(diǎn)分別為,連接,,,

為正三角形,∴,

∵平面平面,平面平面,平面,

平面,

,分別為的中點(diǎn),

,且,

在棱柱中,,,

又∵的中點(diǎn),∴,

,

∴四邊形為平行四邊形,

平面,

平面

∴平面平面;

2)∵平面平面,

在平面內(nèi)的射影落在上,

與平面所成的角,故

連接,則點(diǎn)為線段的中點(diǎn),

, 則,

設(shè),則,,

為原點(diǎn),分別以,,所在直線為軸,

軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,

,,

,,

,,

∵平面平面,平面平面

,∴平面,

平面的一個法向量為

設(shè)平面的一個法向量為,則

,即,

,則,,∴

,

∴二面角的余弦值為.

【詳睛】

本題主要考查空間面面垂直的判定與性質(zhì),線面角的定義以及二面角求法等知識,考查空間想象能力推理論證能力運(yùn)算求解能力,是中檔題.

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