Question

甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)同時(shí)報(bào)名參加某重點(diǎn)高校2010年自主招生，高考前自主招生的程序?yàn)閷徍瞬牧虾臀幕瘻y(cè)試，只有審核過(guò)關(guān)才能參加文化測(cè)試，文化測(cè)試合格者即可獲得自主招生入選資格，文化測(cè)試合格者即可獲得自主招生入選資格，因?yàn)榧�、乙、丙三人各有�?yōu)勢(shì)，甲、乙、丙三人審核過(guò)關(guān)的概率分別為0.5，0.6，0.4，審核過(guò)關(guān)后，甲、乙、丙三人文化測(cè)試合格的概率分別為0.6，0.5，0.75．
（1）求甲、乙、丙三人中只有一人通過(guò)審核的概率；
（2）設(shè)甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，甲、乙、丙三人中只有一人通過(guò)包括三種情況，這三種情況是互斥的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率寫(xiě)出每一種情況發(fā)生的概率，得到結(jié)果．
（2）甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數(shù)為ξ，ξ的可能取值是0，1，2，3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，寫(xiě)出變量的分布列和期望．

解答：解：（1）由題意知本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，
甲、乙、丙三人中只有一人通過(guò)包括三種情況，這三種情況是互斥的，
分別記甲、乙、丙通過(guò)審核為事件A₁，A₂，A₃，
P(E)=P(A1•

.

A2

•

.

A3

)+P(

.

A1

•A2•

.

A3

)+P(

.

A1

•

.

A2

•A3)
=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38
（2）甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數(shù)為ξ，ξ的可能取值是0，1，2，3，
分別記甲、乙、丙獲得自主招生入選資格為事件A，B，C，則
P（A）=P（B）=P（C）=0.3
P（ξ=0）=（1-0.3）³=0.343
P（ξ=1）=3×（1-0.3）²×0.3=0.441
P（ξ=2）=3×0.3²×0.7=0.189
P（ξ=3）=0.3³=0.027
∴ξ的分布列是

∴E（ξ）=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是一個(gè)綜合題目．