Question

（12分）已知橢圓，直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，連接OM并延長交橢圓于點(diǎn)C．直線AB與直線OM的斜率分別為k、m，且．

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若直線AB經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F，問：對于任意給定的不等于零的實(shí)數(shù)k，是否存在a∈，使得四邊形OACB是平行四邊形，請證明你的結(jié)論；

Answer 1

(1)
(2) 當(dāng)且時(shí)，存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形；
當(dāng)或時(shí)，不存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形

解：（Ⅰ）解法一：設(shè)，,，
則，兩式相減，得：，
又，，∴，
又∵，∴，∴…4分
解法二：設(shè)直線AB的方程為y=kx+n，代入橢圓方程得
 ，設(shè)，,，
則，∴，，
∴，又∴，∴       ……4分
（Ⅱ）設(shè)C(xC，yC)，直線AB的方程為y=k(x-c)(k≠0)，代入橢圓方程，
得，若OACB是平行四邊形，則，
∴，，
∵C在橢圓上 ∴∴，
∴，∴∴，
∵，a∈[2，+∞] ，∴，∴且，
∴當(dāng)且時(shí)，存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形；
當(dāng)或時(shí)，不存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形。……12分